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NURBS (Non-Uniform Rational B-Splines) sind mathematische Kurven, die beliebige Formen von einfachen 2D-Linien, -Bögen oder -Rechtecken bis hin zu hoch komplexen organischen 3D-Freiformflächen und -Volumenkörpern darstellen können. Aufgrund ihrer Flexibilität und Genauigkeit können NURBS-Modelle in jedem Prozess von Illustration und Animation bis hin zur Fertigung verwendet werden.
NURBS-Geometrie verfügt über fünf wichtige Merkmale, die es zur idealen Lösung für die computergestützte Modellierung machen.
- Es gibt mehrere industrielle Standardwege, um NURBS-Geometrie auszutauschen. Das bedeutet, dass Kunden Ihre wertvolle Geometriemodelle zwischen verschiedenen Modellierungs-, Render-, Animations- und Analyseprogrammen austauschen können. Sie können geometrische Informationen so speichern, dass sie sogar noch in 20 Jahren verwendet werden können.
- NURBS verfügen über eine genaue und bekannte Definition. Die Mathematik und Computerwissenschaft der NURBS-Geometrie wird in den meisten großen Universitäten gelehrt. Das bedeutet, dass Anbieter von Spezialsoftware, Ingenieurgruppen, Industriedesignfirmen und Animationshäuser, die benutzerdefinierte Softwareapplikationen erzeugen, geschulte Programmierer finden können, die sich in der NURBS-Geometrie auskennen.
- NURBS kann sowohl geometrische Objekte wie Linien, Kreise, Ellipsen, Kugeln und Ringe wie auch Freiformgeometrien wie Autos und Menschenkörper genau darstellen.
- Die zur NURBS-Darstellung einer Geometrie nötige Information ist viel geringer als die Information, die für übliche facettierte Annäherungen benötigt wird.
- Die des weiteren besprochene NURBS-Bewertungsregel kann auf effektive und genaue Weise auf einem Computer durchgeführt werden.
Was ist NURBS-Geometrie?
NURBS-Kurven und -Flächen verhalten sich ähnlich und haben eine gemeinsame Terminologie. Da Kurven am einfachsten zu beschreiben sind, werden wir sie detaillierter betrachten. Eine NURBS-Kurve wird durch vier Eigenschaften definiert: Grad, Kontrollpunkte, Knoten und Bewertungsregel.
Grad
Der Grad ist eine positive Ganzzahl.
Diese Zahl ist normalerweise 1, 2, 3 oder 5, aber kann eine beliebige positive Ganzzahl sein. NURBS-Linien und -Polylinien weisen normalerweise einen Grad von 1, NURBS-Kreise einen Grad von 2 und die meisten Freiformkurven einen Grad von 3 oder 5. Manchmal werden statt der Zahlen die Begriffe linear, quadratisch, kubisch und quintisch verwendet. Linear bedeutet Grad 1, quadratisch Grad 2, kubisch Grad 3 und quintisch Grad 5.
Sie sehen vielleicht einen Zusammenhang zwischen dem Grad und der Ordnung einer NURBS-Kurve. Die Ordnung einer NURBS-Kurve ist einer positiven Ganzzahl gleich (Grad+1). Demzufolge ist der Grad gleich der Ordnung-1.
Es ist möglich, den Grad einer NURBS-Kurve zu erhöhen, und dabei nicht ihre Form zu verändern. Es ist jedoch nicht möglich, den Grad einer NURBS-Kurve zu reduzieren, ohne ihre Form zu ändern.
Kontrollpunkte
Kontrollpunkte sind eine Liste von Punkten mit mindestens Grad+1.
Eine der einfachsten Methoden, die Form einer NURBS-Kurve zu verändern, ist, ihre Kontrollpunkte zu verschieben.
Die Kontrollpunkte haben eine angegliederte Zahl, die Wichtung genannt wird. Bis auf ein paar Ausnahmen sind Wichtungen positive Zahlen. Wenn die Kontrollpunkte einer Kurve alle dieselbe Wichtung (normalerweise 1) haben, wird die Kurve nicht-rational genannt, sonst wird sie rational genannt. Das R in NURBS steht für rational und weist darauf hin, dass bei einer NURBS-Kurve die Möglichkeit besteht, rational zu sein. In der Praxis sind die meisten NURBS-Kurven nicht-rational. Manche NURBS-Kurven - Kreise und Ellipsen sind wichtige Beispiele dafür - sind immer rational.
Knoten
Knoten sind eine Liste von Zahlen mit Grad+N-1, wobei N die Anzahl Kontrollpunkte ist. Manchmal wird diese Zahlenliste auch Knotenvektor genannt. In diesem Zusammenhang bedeutet das Wort Vektor nicht 3D-Richtung, sondern eine Liste von Ganzzahlen.
Diese Liste von Knotenzahlen muss einige technische Bedingungen erfüllen. Der Standardweg, um zu garantieren, dass die technischen Bedingungen erfüllt werden, ist zu erwarten, dass die Zahlen gleich bleiben oder größer werden, während Sie in der Liste abwärts gehen, und die Anzahl duplizierter Werte auf eine Zahl nicht größer als den Grad begrenzen. Für eine NURBS-Kurve vom Grad 3 mit 11 Kontrollpunkten ist die Zahlenliste 0,0,0,1,2,2,2,3,7,7,9,9,9 eine zufriedenstellende Knotenliste. Die Liste 0,0,0,1,2,2,2,2,7,7,9,9,9 ist inakzeptabel, weil zwei Zweien vorkommen und Vier größer als der Grad ist.
Im vorherigen Beispiel einer zufriedenstellenden Knotenliste verfügt der Knotenwert 0 über eine Vielfalt von drei, der Knotenwert 1 über eine Vielfalt von eins, der Knotenwert 2 eine Vielfalt von drei, der Knotenwert 3 eine Vielfalt von eins, der Knotenwert 7 eine Vielfalt von zwei und der Knotenwert 9 eine Vielfalt von drei. Von einem Knotenwert wird gesagt, daß er ein voller Vielfaltsknoten ist, wenn der Grad mehrfach dupliziert ist. Im Beispiel haben die Knotenwerte 0, 2 und 9 volle Vielfalt. Ein Knotenwert, der nur einmal vorkommt, wird einfacher Knoten genannt. Im Beispiel sind die Knotenwerte 1 und 3 einfache Knoten.
Wenn eine Knotenliste mit einem vollen Vielfaltsknoten beginnt, von einfachen Knoten gefolgt wird, mit einem vollen Vielfaltsknoten endet und die Werte einen gleichmäßigen Abstand aufweisen, werden die Knoten uniform (einheitlich) genannt. Wenn z. B. eine NURBS-Kurve vom Grad 3 mit 7 Kontrollpunkten die Knoten 0,0,0,1,2,3,4,4,4 besitzt, dann hat die Kurve uniforme Knoten. Die Knoten 0,0,0,1,2,5,6,6,6 sind nicht uniform. Nicht-uniforme (nicht einheitliche) Knoten heißen nicht-uniform. Das N und das U in NURBS stehen für nicht-uniform und deuten darauf hin, dass die Knoten in einer NURBS-Kurve nicht-uniform sein dürfen.
Duplizierte Knotenwerte in der Mitte der Knotenliste machen eine NURBS-Kurve weniger glatt. Im Extremfall bedeutet ein voller Vielfaltsknoten mitten in der Knotenliste, dass die NURBS-Kurve an einer Stelle in einen scharfen Knick verbogen werden kann. Aus diesem Grund mögen manche Designer Knoten hinzuzufügen und zu entfernen und danach Kontrollpunkte anzupassen, damit die Kurven glatter oder mit mehr Knicken erscheinen. Da die Anzahl Knoten gleich ist wie (N+Grad-1), wobei N die Anzahl Kontrollpunkte ist, werden beim Hinzufügen von Knoten auch Kontrollpunkte hinzugefügt und beim Entfernen von Knoten auch Kontrollpunkte entfernt. Knoten können hinzugefügt werden, ohne dass die Form einer NURBS-Kurve verändert wird. Im Allgemeinen wird beim Entfernen von Knoten die Kurvenform verändert.
Knoten und Kontrollpunkte
Es besteht die falsche Vorstellung, dass jeder Knoten mit einem Kontrollpunkt gepaart ist. Das gilt nur für NURBS (Polylinien) vom Grad 1. Für NURBS mit einem höheren Grad gibt es Knotengruppen vom Grad 2x, die Kontrollpunktgruppen vom Grad+1 entsprechen. Nehmen Sie z. B. an, dass Sie eine NURBS vom Grad 3 mit 7 Kontrollpunkten und Knoten 0,0,0,1,2,5,8,8,8 haben. Die ersten vier Kontrollpunkte werden mit den ersten sechs Knoten gruppiert. Die zweiten bis fünften Kontrollpunkte werden mit den Knoten 0,0,1,2,5,8 gruppiert. Die dritten bis sechsten Kontrollpunkte werden mit den Knoten 0,1,2,5,8,8 gruppiert. Die letzten vier Kontrollpunkte werden mit den letzten sechs Knoten gruppiert.
Manche Modellierer, die ältere Algorithmen für die NURBS-Berechnung verwenden, benötigen zwei zusätzliche Knotenwerte für das Total von Knoten vom Grad+N+1. Beim Export und Import von NURBS-Geometrie werden diese zwei überflüssigen Knoten je nach Bedarf automatisch hinzugefügt und entfernt.
Bewertungsregel
Eine Bewertungsregel verwendet eine mathematische Formel, die eine Zahl nimmt und einen Punkt zuordnet.
Die NURBS-Bewertungsregel ist eine Formel, die mit Grad, Kontrollpunkten und Knoten arbeitet. Die Formel enthält B-Spline-Basisfunktionen. Das B und das S in NURBS stehen für "basis spline" (Grund-Spline). Die Zahl, mit der die Bewertungsregel beginnt, heißt Parameter. Sie können sich die Bewertungsregel als schwarzes Kästchen vorstellen, das einen Parameter nimmt und einen Punktstandort erzeugt. Grad, Knoten und Kontrollpunkte bestimmen, wie das schwarze Kästchen funktioniert.
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